连续函数是微积分的理论基石，本文聚焦函数f(x)与g(x)在点x₀处的连续性，探析其基本性质、四则运算（和、差、积、商）的连续性条件，以及复合函数、反函数的存在性与连续性，通过分析这些内容，揭示连续函数的内在规律，为极限、导数等后续概念提供理论支撑，是理解微积分体系的关键环节。
在数学分析的殿堂中,连续性是刻画函数“平滑性”的核心概念，它像一座桥梁，连接了极限、导数、积分等关键理论，当我们讨论两个函数f(x)与g(x)在点x₀处的连续性时，不仅需要理解单个函数连续的内涵，更需探究它们相互作用时产生的性质——尤其是运算后的连续性以及由此衍生的存在性结论，本文将从连续性的定义出发，系统阐述f(x)与g(x)在x₀连续的运算规则，并基于连续性讨论函数值、极限及方程解的存在性问题，揭示连续性在数学分析中的基础地位。
函数在某点连续的定义：f(x)与g(x)在x₀连续的内涵
函数在某点连续,直观上意味着“函数图像在该点没有断点”，严格定义则需借助极限的语言，对于函数f(x)，若满足以下三个条件，则称f(x)在点x₀处连续：
- f(x)在x₀处有定义，即f(x₀)存在；
- 极限limₓ→ₓ₀ f(x)存在；
- 极限值等于函数值,即limₓ→ₓ₀ f(x) = f(x₀)。
同理,g(x)在x₀连续意味着limₓ→ₓ₀ g(x) = g(x₀)，连续性的本质是“自变量的微小变化引起函数值的微小变化”，这种“稳定性”为后续运算与存在性讨论提供了前提，f(x) = x²在任意x₀∈ℝ连续，g(x) = sinx在任意x₀∈ℝ连续，它们的图像均是一条无“跳跃”的平滑曲线。
f(x)与g(x)在x₀连续的运算性质：和、差、积、商的连续性
当两个函数在x₀处连续时，通过四则运算得到的新函数，在x₀处的连续性如何？这是数学分析中基本且重要的问题，结论可概括为：连续函数的和、差、积仍连续；商在分母不为零处连续，具体而言：
和与差的连续性
设f(x)与g(x)在x₀连续，则h(x) = f(x) ± g(x)在x₀连续。
证明：由极限的线性运算法则，limₓ→ₓ₀ [f(x) ± g(x)] = limₓ→ₓ₀ f(x) ± limₓ→ₓ₀ g(x) = f(x₀) ± g(x₀) = h(x₀)，故h(x)在x₀连续。
f(x) = x²与g(x) = sinx在x₀=0连续，则h(x) = x² + sinx在0处连续，且h(0) = 0 + 0 = 0，与极限值一致。
积的连续性
设f(x)与g(x)在x₀连续，则p(x) = f(x)·g(x)在x₀连续。
证明：利用极限的乘法法则，limₓ→ₓ₀ [f(x)·g(x)] = limₓ→ₓ₀ f(x)·limₓ→ₓ₀ g(x) = f(x₀)·g(x₀) = p(x₀)，故p(x)在x₀连续。
f(x) = eˣ与g(x) = cosx在x₀=π/2连续，则p(x) = eˣcosx在π/2处连续，且p(π/2) = e^{π/2}·0 = 0。
商的连续性
设f(x)与g(x)在x₀连续，且g(x₀) ≠ 0，则q(x) = f(x)/g(x)在x₀连续。
证明：由极限的除法法则，limₓ→ₓ₀ [f(x)/g(x)] = limₓ→ₓ₀ f(x)/limₓ→ₓ₀ g(x) = f(x₀)/g(x₀) = q(x₀)（因g(x₀)≠0，分母极限不为零），故q(x)在x₀连续。
f(x) = x + 1与g(x) = x - 1在x₀=2连续，且g(2)=1≠0，则q(x) = (x+1)/(x-1)在2处连续，且q(2)=3/1=3。